La Roulette

Suite aux invasions intempestives du gugusse qui a trouvé l’astuce géniale pour gagner à la roulette (et qui soi-disant ne marche que sur un seul site, gné ?), voici une modélisation mathématique (tirée d’un cours, j’ai pas inventé ça tout seul). On va voir si ça donne toujours autant envie après ça…

Ok il y a 18 cases noires, 18 cases rouges et 1 case verte.

On mise sur une case noire ou rouge, et on gagne le double de sa mise. Soit 18 cases de sa couleur, et 19 cases où on perd.

La probabilité de gagner est de 18/37.
La probabilité de perdre est de 19/37.

On commence par miser 1€ (c’est peu mais vous allez comprendre pourquoi on cherche à ne gagner qu’un euro).

Dès qu’on gagne, on décide de s’arrêter là avec un gain de +1€

Si on perd, on rejoue de façon a gagner 1€ de plus que tout ce que l’on a misé jusque là.

Si on gagne tout de suite, on obtient 2€, donc +1€.

Si on perd une fois puis on gagne, on a perdu 1+2=3€ pour gagner 2×2€ = 4€

Si on perd deux fois puis on gagne, on a perdu 1+2+4=7€ pour gagner 2×4€ = 8€

Si on perd n-1 fois et gagne au n-ième coup, on a perdu 1+2+…+ 2^(n-1) = 2^n – 1 € pour gagner 2×2^(n-1) = 2^n € (donc toujours +1€ de gagné par rapport à ce qui est perdu)

Donc pour gagner au n-ième coup, il faut miser 2^(n-1)€. (et avoir dépensé 2^n – 1 €)

Si on a une fortune infinie, il y a bien une fois où on va gagner.

Mais on a une fortune de F €

Il faut donc que 2^n – 1 < F (inférieur ou égal mais je sais pas faire le signe enfin osef)

soit 2^n < F + 1

soit n x ln2 < ln (F+1)

soit n < ln (F+1) / ln2

Là où ça nous intéresse : si on a par exemple 1.000, on peut jouer ce nombre de fois : n < ln (1001) / ln2

(Enfin on se simplifie la vie en regardant directement 2^9 fois = 512€ et 2^10 fois = 1024€)

Donc avec 1.000€, on a le droit a 9 essais pour gagner 1€.

Regardons maintenant les probabilités de gagner/perdre au bout d’un certain nombre de coup.

Les probabilités se multiplient, donc à chaque fois qu’on perd c’est x (19/37).

(19/37)x(19/37)x…..x(18/37) = le cas de victoire.

La probabilité de gagner au n-ième coup est donc de (19/37)^(n-1) x (18/37) (on gagne 1 €)

L’espérance du gain ("gain moyen") est la somme des proba x gains.

E = (18/37) x 1 + (18/37)x(19/37)x1 + …

(je vous épargne le reste, long et pas évident à écrire comme ça, donc ne me demandez pas d’où sort la formule suivante, faites confiance aux maths)

E = 1 – (38/37)^n

38/37 est supérieur à 1. Donc 1 – (38/37) est négatif, et pire encore, pour chaque n ce nombre augmente.
Donc plus on joue, plus on a un gain moyen qui rétrécit (vive la petite case verte). On perd de plus en plus de fois. C’était prévisible à coup de 19/37 qui s’accumulent.

Donc le mieux est de gagner dès le début, sinon sur la probabilité de fois où on joue, on a de plus en plus de chances de perdre.

Et si il faut dépenser 1024€ pour jouer 10 fois et avoir la chance de gagner un malheureux euro, ça ne donne pas envie non ?

La probabilité de 19/37 par rapport à 18/37 n’est pas énorme, mais elle suffit pour que plus de gens perdent que les gens qui gagnent en quelques coups avec un peu de chance. De toute façon, si il n’en était pas autrement, les casinos ne seraient pas rentable, ils ne sont pas là pour fournir de l’argent !

25 commentaires à propos de “La Roulette”

  1. C’est pas une astuce pour gagner les mains dans les poches, c’est pour expliquer qu’en théorie on est censé perdre, et de plus en plus à mesure des tentatives, et qu’il faut miser de plus en plus gros pour compenser ses pertes, et que ça revient vite très cher.

  2. Tu te compliques la vie pour rien avec ta suite géométrique:
    Tu as une probabilité (19/37)^n de perdre en n coups (que je vais noter p^n) donc ton espérance de gain c’est tout simplement:
    E = (1-p^n) – p^n * (2^n – 1)
    2^n – 1 étant la somme que tu perds si tu n’a pas gagné en n coups.

    Et, en plus, ça se simplifie très facilement en:
    E = 1 – (2*p)^n
    Comme ce que tu obtiens, mais ta somme où tous les termes semblent positifs et où au final, tu tombes sur un résultat négatif, ça fait quand même bizarre au premier coup d’œil.

    Et ta conclusion est fausse. Ce n’est pas plus on joue plus l’espérance de gain diminue, mais plus on est capable de miser gros et plus on risque de perdre gros. Sans parler que tu oublies de parler du nombre moyen de parties avant d’être perdant, qui est clairement en faveur d’un n grand, et c’est d’ailleurs pour cela que les mises sont limitées.

  3. rgk, tu ne précises pas le plus important : aucun casino ne permet de miser plus de 360 fois la mise unitaire à la roulette anglaise en chance simple (rouge/noir, pair/impair). Si la mise minimale de la table est de 2 euros, tu ne pourras pas miser plus de 720 euros à la fois en chance simple. Après calcul, log2(360) < 9, cela signifie que tu ne peux pas perdre plus de 8 fois d’affilée à la roulette sur des mises simples en utilisant la technique de la martingale, ce que tu présentes plus ou moins clairement au-dessus.

    Sans cette règle, il suffirait d’avoir un énorme capital pour gagner à tous les coups contre le casino, puisque l’espérance de la martingale simple est toujours positive, indépendamment du capital du joueur bien sûr. Après, il suffit d’utiliser la grande martingale en alternant les couleurs rouge/noir en fonction des gains pour limiter le nombre de pertes dû à de longues séries de même couleur.

    Peu importe le modèle mathématique (stochastique, théorie du chaos), le casino est toujours gagnant.

  4. -c’est d’ailleurs pour cela que les mises sont limitées

    -aucun casino ne permet de miser plus de 360 fois la mise unitaire à la roulette anglaise en chance simple (rouge/noir, pair/impair)

    ah j’ignorais ça ! (même si finalement c’est logique, cf fortune infinie qui permettra de gagner)

  5. Article intéressant, rien de bien compliqué. Maintenant combien de fois n’ai je pas entendu ce raisonnement de la part de copains gambler (moi même étant un amateur de jeu d’argent) cependant force est de constater que le gagnant reste quand même et toujours le casino. Tout ca pour un minime pourcentage de gain en leur faveur.

    Cette fameuse technique du ‘quitte ou double’ à la roulette est complètement foireuse. Je vous déconseille fortement de l’appliquer.

    Preuve :

    J’ai pas été plus loin, mais encore un noir qui tombait et j’aurais perdu 1000€ en respectant le quitte ou double misé sur ce PUTAIN DE ROUGE ! (mise max ici était de 5€)

    Le mieux étant bien sur d’éviter comme la peste les jeux d’hasard au casino car peu importe la forme, le fond reste le même : vous serez perdant. Percez plutôt dans le poker avec une -énorme- discipline vous serez gagnant.

  6. cependant force est de constater que le gagnant reste quand même et toujours le casino. Tout ca pour un minime pourcentage de gain en leur faveur.

    Je vous déconseille fortement de l’appliquer.

    That’s my point !

  7. Ouhlà ça dépasse largement mes compétences 😀

    Surtout que je suis loin de connaître les règles. A la limite des articles de biologie, mais je ne pense plus aborder les maths, c’est pas vraiment mon domaine ^^

  8. Mouarf, ça me rappelle les cours de probabilité … et dire qu’il va falloir que je (re)révise ça à fond d’ici quelques jours.

  9. Je vous conseille Le Joueur de Dostoïevski qui montre que les martingales et les théories mathématiques fumeuses sont inventées par des toxicomanes du jeu qui essaient de nourrir et justifier leur dépendance.

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